Barwert

Der Barwert, auch Gegenwartswert genannt (englisch present value), ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Der Barwert ist der Wert, den zukünftige Zahlungen in der Gegenwart besitzen. Er wird durch Abzinsung der zukünftigen Zahlungen und anschließendes Summieren ermittelt. Daneben gibt es noch den Begriff des versicherungsmathematischen Barwerts, welcher eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts darstellt.

Barwert einer einzigen Zahlung

Im einfachsten Fall ist der Barwert einer einzigen Zahlung zu ermitteln. Dazu müssen folgende Daten gegeben sein:

• die Höhe der zukünftigen Zahlung $C$,
• die Zeit $T$, die bis zur Zahlung $C$ vergeht, gerechnet ab heute (normalerweise in Jahren),
• der Zinssatz $i$, mit dem die Zahlung abgezinst wird.

Der Barwert BW ist dann

$BW=C\cdot DF(i,T)$,

wobei $DF(i,T)$ der Diskontierungsfaktor ist, dessen genaue Form von der gewählten Zinskonvention abhängt. Für den einfachen Fall, dass $T$ eine ganze Zahl von Jahren bezeichnet, lautet der Diskontierungsfaktor

$DF(i,T)={\frac {1}{(1+i)^{T}}}$

und somit beträgt der Barwert

$BW={\frac {C}{(1+i)^{T}}}$.

Barwert einer Anleihe

Häufig wird die Barwertformel angewendet, um den Preis einer festverzinslichen Anleihe zu berechnen. Für eine Anleihe mit einem Nominalwert (Rückzahlungsbetrag) $N$ , einer Laufzeit von $T$ ganzen Jahren und konstanten jährlichen Kuponzahlungen $C$ berechnet sich der Barwert aus der Summe der Barwerte der Zinszahlungen und des Barwerts der Rückzahlung:

$BW=\sum _{k=1}^{T}{\frac {C}{(1+i)^{k}}}+{\frac {N}{(1+i)^{T}}}={\frac {C}{(1+i)}}+{\frac {C}{(1+i)^{2}}}+\dots +{\frac {C}{(1+i)^{T}}}+{\frac {N}{(1+i)^{T}}}$.

Beträgt die Zeit bis zur ersten Kuponzahlung weniger als ein Jahr, enthält der Barwert zeitanteilige Stückzinsen für den ersten Kupon und wird als „dirty price“ bezeichnet. Zieht man vom „dirty price“ die zeitanteilig abgegrenzten Stückzinsen ab, erhält man den sogenannten „clean price“. Der „clean price“ ist der Preis, der bei Börsennotizen, in Kurslisten o. Ä. aufgeführt wird. Der „dirty price“ ist der Preis, der bei einer Veräußerung tatsächlich gezahlt wird.

Barwert einer Annuität

Als Annuität (oder Rente) bezeichnet man in der Finanzmathematik eine gleich bleibende regelmäßige Zahlung. Wird diese Zahlung nicht auf einen Zeitraum beschränkt, sondern fließt unbegrenzt lange zu, spricht man von einer ewigen Rente (auch Perpetuität genannt).

Der Barwert des Betrages $C$, der einmal pro Jahr auf unbeschränkte Dauer zufließt, beträgt bei einem Kalkulationszinssatz $i$

$BW_{\text{ewig}}={\frac {C}{i}}$.

Fließt die (nachschüssige) Rente nur $N$ Jahre, so ist der Barwert

$BW=BW_{\text{ewig}}\cdot \left(1-{\frac {1}{{\big (}1+i{\big )}^{N}}}\right)={\frac {C}{i}}-C{\frac {1}{i{\big (}1+i{\big )}^{N}}}=C\cdot \left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i{\big (}1+i{\big )}^{N}}}\right)$.

Je größer $N$ und je größer $i$ werden, desto mehr nähert sich das Ergebnis dem einer ewigen Rente an. Der Faktor zwischen Zahlung und Barwert heißt Rentenbarwertfaktor (=BW/C), sein Kehrwert heißt Annuitätenbarwertfaktor (=C/BW).

Beispiele: Bei einem Zinssatz von 5 % ist der Barwert der ewigen Rente 20-mal so groß wie die jährliche Zahlung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 20. Der Barwert einer 30 Jahre laufenden Rente ist das 15,4fache der jährlichen Zahlung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 15,4. Der Barwert einer einjährigen Rente ist 1/1,05-mal so hoch wie die Ausschüttung, der Rentenbarwertfaktor beträgt 1/1,05, was etwas größer als 0,95 ist.

Kapitalwert

→ Hauptartikel: Kapitalwert

Der Kapitalwert (englisch net present value) ist eine Barwertbetrachtung, die zur Beurteilung der Wirtschaftlichkeit von Investitionen vorgenommen wird. Dabei wird der Barwert aller mit der Investition verbundenen Ein- und Auszahlungen über den Amortisationszeitraum der Investition ermittelt. Die Investition ist wirtschaftlich, wenn dieser Barwert positiv ist.

Auszahlungen resultieren dabei typischerweise aus Investitionsausgaben und sind daher am Anfang des betrachteten Zeitraums fällig. Nettoeinzahlungen resultieren aus den von der Investition erwarteten zusätzlichen Erlösen, sind typischerweise erst zu einem späteren Zeitpunkt zu erwarten und werden somit stärker diskontiert.

Versicherungsmathematischer Barwert

Der versicherungsmathematische Barwert ist eine Verallgemeinerung des finanzmathematischen Barwerts. Wo letzterer den Wert, den zukünftig anfallende Zahlungen in der Gegenwart besitzen, (nur) unter Berücksichtigung der Abzinsung darstellt, fließen beim versicherungsmathematischen Barwert auch noch statistische bzw. stochastische Größen wie Sterbewahrscheinlichkeiten und Ähnliches ein.

Der versicherungsmathematische Barwert einer Leibrente zum Beispiel ist die Summe aller möglichen zukünftigen Rentenzahlungen (einschließlich möglicher Hinterbliebenenrentenzahlungen nach dem Tode des Rentenempfängers), jeweils mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens gewichtet und auf den Berechnungszeitpunkt abgezinst.

Siehe auch

• Barwertidentität
• Discounted Cash Flow
• Endwert
• Kapitalwert

Weblinks

Wiktionary: Barwert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen