Cesàro-Mittel

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Als Cesàro-Mittel oder Cesàro-Durchschnitte werden die zu einer gegebenen Zahlenfolge aus den ersten Folgengliedern gebildeten arithmetischen Mittel bezeichnet. Wenn diese für wachsende konvergieren, spricht man von Cesàro-Konvergenz. Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit und bezeichnet den Grenzwert als Cesàro-Summe. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück und ermöglicht eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffs. Sie ist deswegen insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und der Fourier-Analysis von Bedeutung.

Zu einer gegebenen Zahlenfolge bildet man die arithmetischen Mittel über die ersten Folgenglieder, also

Man bezeichnet dann als das -te Cesàro-Mittel beziehungsweise die Folge als Folge der Cesàro-Mittel.

Konvergiert die Folge gegen einen Wert , so konvergiert nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz auch die Folge der Cesàro-Mittel gegen , das heißt, aus folgt oder ausgeschrieben . Die Folge der Cesàro-Mittel kann jedoch auch konvergieren, ohne dass die Ausgangsfolge konvergiert.

Ein Beispiel hierfür ist die alternierende Folge , sie selbst ist divergent, aber die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert gegen 0.

Damit hat man eine Erweiterung des normalen Konvergenzbegriffes für Folgen und bezeichnet eine Folge dementsprechend als Cesàro-konvergent, wenn die Folge ihrer Cesàro-Mittel konvergiert.

Spezialfall Reihen

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Ein wichtiger Spezialfall ist die Anwendung der Cesàro-Mittel beziehungsweise der Cesàro-Konvergenz auf Reihen, das heißt auf die Folge der Partialsummen einer Reihe. Zu einer Folge sind die Partialsummen der Reihe definiert als:

Zu dieser Folge bildet man nun die Cesàro-Mittel . Konvergieren diese, das heißt , so bezeichnet man die Reihe Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder -summierbar zum Wert und schreibt . Den Grenzwert nennt man Cesàro-Summe und auch die Ausgangsfolge wird dann als Cesàro-summierbar oder -summierbar zum Wert bezeichnet.

Bildet man zu der obigen Beispielfolge mit die zugehörige Reihe , dann erhält man die folgenden Partialsummen:

Die Cesàro-Mittel über die Folge dieser Partialsummen lauten dann:

Es gilt und damit . Diese Reihe wird auch als Grandi-Reihe bezeichnet.

Viele Autoren definieren die Cesàro-Konvergenz nur für Reihen, das heißt, sie betrachten nur die Cesàro-Mittel der zugehörigen Partialsummen. Bezogen auf eine Reihe haben die Bezeichnungen Cesàro-konvergent, Cesàro-summierbar oder -summierbar die gleiche Bedeutung. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man sich auf die Folge bezieht. Hier haben Cesàro-Konvergenz und Cesàro-Summierbarkeit eine unterschiedliche Bedeutung, denn die Konvergenz bezieht sich dann auf die Cesàro-Mittel der Folgenglieder, während sich die Summierbarkeit auf die Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen bezieht und damit der Summierbarkeit beziehungsweise Konvergenz der zugehörigen Reihe entspricht.

Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kern in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen.