Hauptideal

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Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.

Ein Hauptideal eines Ringes ist ein von einem einzigen Element erzeugtes Ideal.

Mit den Komplexprodukten

und

gilt jeweils für das von erzeugte

  • Haupt-Linksideal:
  • Haupt-Rechtsideal:
  • (zweiseitige) Hauptideal:

Falls der Ring ein Einselement 1 besitzt, folgt für das

  • Haupt-Linksideal:
  • Haupt-Rechtsideal:
  • (zweiseitige) Hauptideal:
  • Es ist durchaus geläufig, mit das von erzeugte Hauptideal zu bezeichnen[1][2] (und nicht nur das darin enthaltene Komplexprodukt).
  • In kommutativen Ringen stimmen alle drei Arten von Hauptidealen überein, im Allgemeinen jedoch nicht.
  • Nicht jedes Ideal eines Ringes muss ein Hauptideal sein. Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring aller Polynome in zwei Unbestimmten über einem Körper . Das von den beiden Polynomen und erzeugte Ideal besteht aus allen Polynomen aus , deren Absolutglied gleich ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom ein Erzeuger von , dann müsste ein Teiler sowohl von als auch von sein, was nur auf die konstanten Polynome ungleich zutrifft. Diese sind aber in nicht enthalten.

Verwandter Begriff

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Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.

Einzelnachweise

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  1. Principal ideal. Encyclopedia of Mathematics. URL: https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Principal_ideal&oldid=35049, abgerufen am 12. April 2018.
  2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-12-599841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Seite 21