Elementargebiet

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Ein Gebiet heißt Elementargebiet (teilweise auch Stammgebiet) genau dann, wenn jede auf holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt, das heißt, auf gilt die Aussage des Integralsatzes von Cauchy.

Charakterisierung

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Es gelten folgende Charakterisierungen für ein Elementargebiet :

  • ist einfach zusammenhängend, das heißt, jede geschlossene Kurve in ist nullhomotop, das heißt, auf den Anfangspunkt stetig zusammenziehbar. Anschaulich bedeutet dies, dass keine Löcher hat.
  • ist homolog einfach zusammenhängend, das heißt, jeder Zyklus in ist nullhomolog, das heißt, das Innere des Zyklus liegt vollständig in .
  • ist konform äquivalent zu ganz oder zur Einheitskreisscheibe , das heißt, es existiert eine biholomorphe Abbildung von zu oder zu , vergleiche: riemannscher Abbildungssatz.
  • Sind und Elementargebiete, deren Schnitt zusammenhängend und nicht leer ist, so ist auch ein Elementargebiet.
  • Ist eine Folge von Elementargebieten, für die gilt, so ist auch ein Elementargebiet.

Aus Kreisscheiben lassen sich mittels dieser beiden Operationen alle Elementargebiete erzeugen.

Folgende Gebiete sind Elementargebiete:

  • und
  • jedes Sterngebiet
  • die geschlitzte Ebene

Folgendes Gebiet ist kein Elementargebiet:

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4