Harmonische Funktion

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Eine harmonische Funktion definiert auf einem Kreisring.

In der Analysis heißt eine reellwertige, zweimal stetig differenzierbare Funktion harmonisch, wenn die Anwendung des Laplace-Operators auf die Funktion null ergibt, die Funktion also eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Das Konzept der harmonischen Funktionen kann man auch auf Distributionen und Differentialformen übertragen.

Sei eine offene Teilmenge. Eine Funktion heißt harmonisch in , falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und für alle

gilt. Dabei bezeichnet den Laplace-Operator.

Mittelwerteigenschaft

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Die wichtigste Eigenschaft harmonischer Funktionen ist die Mittelwerteigenschaft, welche äquivalent ist zur Definition:

Eine stetige Funktion ist genau dann harmonisch, wenn sie die Mittelwerteigenschaft erfüllt, das heißt, wenn

für alle Kugeln mit . Hierbei bezeichnet den Flächeninhalt der -dimensionalen Einheitssphäre (siehe Inhalt und Volumen der Einheitssphäre).

Weitere Eigenschaften

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Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft.

  • Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss , so werden Maximum und Minimum auf dem Rand angenommen.
  • Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird.
  • Abschätzung der Ableitungen: Sei harmonisch in . Dann gilt für die Ableitungen

    wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.
  • Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann.
  • Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion ist konstant.
  • Harnack-Ungleichung: Für jede zusammenhängende, offene und relativ kompakte Teilmenge gibt es eine Konstante , die nur von dem Gebiet abhängt, so dass für jede in harmonische und nichtnegative Funktion

    gilt.
  • Im Sonderfall für ein einfach zusammenhängendes Gebiet können die harmonischen Funktionen als Realteile analytischer Funktionen einer komplexen Variablen aufgefasst werden.
  • Jede harmonische Funktion ist auch eine biharmonische Funktion.

Die Grundlösung

ist eine auf harmonische Funktion, worin das Maß der Einheitssphäre im bezeichnet. Versehen mit dieser Normierung spielt die Grundlösung eine fundamentale Rolle in der Theorie zur Poisson-Gleichung.

Verallgemeinerungen

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Polyharmonische Funktionen sind bis zur 2m-ten Ordnung der Ableitung stetige Lösungen der Differentialgleichung:

Für (Biharmonische Funktion) taucht die Differentialgleichung in der Theorie der elastischen Platten auf (Gustav Kirchhoff).

  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate studies in mathematics 19).