Legendre-Symbol

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Das Legendre-Symbol ist eine Kurzschreibweise, die in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verwendet wird. Es ist nach dem französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre benannt.

Definition und Notation

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Das Legendre-Symbol gibt an, ob die Zahl quadratischer Rest modulo oder quadratischer Nichtrest modulo ist. Dabei ist eine ganze Zahl und eine ungerade Primzahl.

Es gilt

Das Legendre-Symbol ist ein Spezialisierung des Jacobi-Symbols, das wiederum eine Spezialisierung des Kronecker-Symbols ist. Alle drei Symbole benutzen daher unmissverständlich dieselbe Schreibweise. Weitere Notationsvarianten für das Legendre-Symbol sind und .

Das eulersche Kriterium gibt eine mögliche Berechnungsmethode zum Legendre-Symbol an:

.

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit liefert das Lemma von Zolotareff mit

wobei , die durch

definierte Permutation der Zahlen von ist, und das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet.

2 ist quadratischer Rest modulo 7 – in der Tat ist ja :

5 ist quadratischer Nichtrest modulo 7:

14 ist durch 7 teilbar (also weder Rest noch Nichtrest von 7):

Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht wichtige Aussagen über das Rechnen mit dem Legendre-Symbol.

Außerdem gelten für alle ganze Zahlen , und alle Primzahlen folgende Rechenregeln:

  • .

Spezielle Werte

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Es gilt

Diese speziellen Werte reichen aus, um jedes nicht-verschwindende Legendre-Symbol durch wiederholtes Aufteilen des „Zählers“ in Primfaktoren, Anwenden des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und modulo-Reduktion zu berechnen. So ist zum Beispiel

Die besondere Stellung der Zahl 3

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Die Zahl 3 liefert bei der Ganzzahldivision als Modulo die Werte 0, 1 und −1 zurück. Dies entspricht genau den Werten des Legendre-Symbols. Es gilt also:

Andererseits gilt auch:

Besonderheiten bei Primzahlen

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Siehe dazu unter Pythagoreische Primzahl.